优化高中数学总复习的思考
黄梅县教研室    张记权

复习是对所学过的知识进行再学习，它是数学教学不可缺少的重要环节。其目的是使更多的学生更好地掌握高中所学的数学知识和方法，进一步提高数学能力，并在高考中充分发挥这种能力，取得满意的成绩。为此，必须优化高中数学总复习。

一、克服不良心理因素，扎实搞好第一轮复习
第一轮复习是高三数学复习备考的关键，要把主要精力放在第一轮复习上。这一轮复习要敢于投入时间，不能抢进度，不能省环节，努力克服不良心理因素，扎扎实实搞好第一轮基础复习。

第一轮复习的指导思想是：全面、扎实、系统、灵活。“全面”即全面覆盖，做到“有什么讲什么”，不能采取“考什么讲什么”；“扎实”，即抓好单元知识的理解、巩固，把“三基”夯实牢；“系统”，即前挂后联，有机结合，注意知识的完整性、系统性，初步建立明晰的知识网络；“灵活”，即增强小综合训练，克服解题的单向性、定向性，克服讲授偏、难、怪题。从而达到基础知识牢固化、查漏补缺完整化、融会贯通系统化、不断提高解题能力的目的。具体谈以下几点想法：

1、对所学的知识前挂后联、系统梳理，克服思维定势的惰性心理

在上新课时，由于受到进度和知识水平等方面的限制，当时对知识的理解也必然受到限制。进入总复习后，知识都讲了，理论多了，看问题的角度也高了，可以运用多向思维的方法，重新认识已学过的知识，加深对它的理解，使之更系统、更全面。否则，在对问题的研究中，会使学生满足固有的思维模式，只能套用知识，不能灵活思维；只能摹仿，不会创新，从而形成惰性的心理。

比如，在解析几何的两条线平行与垂直中，对于结论：“两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，则斜率相等。反之，如果它们的斜率相等则两直线平行”。可以与“充要条件”联系起来，站在“充要条件”的高度重新认识两条线平行的条件，既复习了“充要条件”的基本概念，又丰富了两条直线平行的内容。又如，在讨论正方体的棱、面对角线和体对角线成异面直线的对数时，可用排列组合知识进行分类讨论，这样前挂后联，使知识更加系统。

2、对所学的知识挖掘联系、深化理解，克服自以为是的厌烦心理

基础知识的复习要以教材为本，但不能照本宣科，机械呈现。否则，学生会认为：已经解决了问题，何必再浪费时间呢？进而，会产生厌烦心理。因此，要深入挖掘知识的内在联系，使旧知识以不同的面目出现。如椭圆的标准方程的推导，若按照教材重复，学生肯定会觉得乏味不愿听。但是，如果对教材上推导过程中的 ①和 ②两个等式进行新的挖掘，却有另一番新意：

⑴如果在①式的两边同时除以 ，可变为 ，即 从而推出焦半径的计算公式。

⑵如果在①式的两边同时除以 ，可得 即为椭圆的第二定义。

⑶如果在②式中，移项得， ，即 ，于是有 ，从而将椭圆的定义表示为第三种形式：“一动点到两定点A1(a、0),A2(-a、0)连线的斜率之积为常数 的轨迹为椭圆”。

这种挖掘给课本的推导过程赋予了新的内容，导出了以后有用的结论，更能激起学生强烈的求知欲。

3、对所学的知识对比分析，明辨异同，克服似是而非的模糊的心理

学生产生似是而非的模糊心理，主要是负迁移的影响。而负迁移产生的原因之一是“新旧两种情境之间所具有共同要素”。如学习“第几象限角”这个概念。因为学生脑子里已经有了“锐角”这个概念，常把“第一象限角”与“锐角”混淆。原因是受前后内容的共性的强刺激作用导致了负迁移的产生。克服由“共同要素”引起负迁移而产生的模糊心理的方法是：加强对比，明辨异同。

大家知道，数学中很多概念是类似的，如等差数列和等比数列，椭圆和双曲线的定义，线线角、线面角、面面角的范围等。在复习中要运用对比的方法，加以比较鉴别。如对于异面直线的夹角、直线和平面所成的角、斜线和平面所成的角、直线的倾斜角、二面角的范围及反正弦的值域，反余弦的值域等可用列表的方法加以比较和鉴别，使学生加深理解和掌握。

二、注重学生的思维训练，着力培养能力

当前，数学复习课存在几个误区：一是注重教师讲清楚，忽视学生的思维活动；二是重视知识的再现，忽视归纳提升；三是追求训练的次数，忽视学生训练的落实。前者当然无可厚非，但后者是不可取的。复习课更应注重学生的思维训练。

1、克服思维惰性，消除依赖心理

人的思维可分为积极性的思维（即主动性）和消极性的思维（即被动性）。显然，消极性的思维是阻碍创造性思维的培养和发展。因此，要帮助学生克服思维的惰性，消除依赖心理，积极主动投入复习。

（1）进行情感交流，调动学生思维的积极性

列宁说过：“没有人的情感，就从来没有也不可能有对于真理的追求。”没有追求，就不可能产生兴趣，也就无积极性了。因此，教师要加强与学生的情感交流，增进与学生的关系，亲近他们，热爱他们，热情地帮助他们解决学习困难。当学生把你当着朋友时，就能较自然地过渡到喜欢你所教的学科，甚至会把此学科作为自己奋斗终身的事业，自然地学习的积极性也就高涨了，学生的思维之窗也就打开了。

（2）创设问题情景，引发学生思维的主动性

心理学研究表明：意识到问题的存在是思维的起点，没有问题的思维是肤浅的思维、被动的思维。这就要求教师要认真钻研教材，精心备课，在课堂中提出与教学内容相关、能引起学生积极思考的问题，在教学内容与学生求知心理之间创设“不协调”情境，造成一种悬念，使学生产生探索的欲望，处于欲罢不能的状态，引发学生思维的主动性。

创设问题情景的方法多样，可以联系生活实际创设问题情景，可以层层递进创设问题情景，可以制造悬念创设问题情景，可以设置陷井创设问题情景，等等。

（3）变换表达方式，保持学生思维的永动性

新奇感是人们对事物的奇异现象的敏感直觉和好奇心态。每当人们遇到一种新的事物，发现一个奇异现象时，必然会被深深地吸引住，情不自禁地对遇到的“新奇现象”进行观察、分析、思考。由此可见，“新奇感”是学生学习的“内驱动力”。因此，数学复习不能照本宣科，老调重弹。结合数学内容的特点，可以设计出猜想归纳式，开放探求式，数形结合式等诱发学生的新奇感；结合数学思想方法，可利用问题导学法、发现法、一题多解、一题多变、多题一法等保持学生思维的永动性。

2、突出考查能力导向，强化复习课的思维训练

高考命题坚持能力立意，注重理性思维。突出能力考查重点是在思维方法上做文章。因此，数学复习课要着眼于深化思维，提高能力。

（1）开拓引伸，强化思维的深刻性

一些例习题在上新课时，由于受知识的限制，确实无延伸的必要。但在综合复习时，根据例习题的明显特点和丰富内涵，就须做到深化引伸，强化学生思维的深刻性。可是有的教师在数学复习中，采取单线条的讲解，学生根本没有思维活动的空间。讲解例习题时，对题目的挖掘深度不够，对课堂上可能出现的各种情况缺乏充分的准备，导致只能进行单线条讲解，不敢放开、发散，形成单一解决问题的模式。开拓引伸，就是要使学生对问题的认识不能局限于表面，而要善于剖开现象，由此及彼，进行广泛深刻的纵向式横向延伸、发展，在更深的层次中，仔细研究正在认识的事物和与之有关的事物，逐步提高认识层次，从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性、螺旋上升。

（2）及时点拨，激发思维的创造性

综合复习课不能安排得平平淡淡，死气沉沉，而应通过问题引发思考，激活学生思维；出示例习题，不能让学生解起来一帆风顺，一点挫折不遇，而应设置一定的障碍，让其排除或超越。这不仅能激发学生的求知欲，帮助学生树立战胜困难的信心和勇气，同时通过对矛盾的解决取得更多的经验和教训，这显然对提高学生解题能力大有益处。但要强调两点：一是所设置的障碍，要切合实际，不能超越学生的能力而随意加大难度；二是设置一定的障碍后，需要教师及时点拔，正确引导，不能让学生的思维陷入困境而突围不出来。

（3）小结反思，优化思维的发散性

数学综合复习课，大量的是习题课或评讲课，讲解例习题时，不但要引导学生分析解题思路，寻求解题方法，还要小结反思。可是，有的教师得出正确的结果之后，没有进行必要的总结归纳，反思感悟，只停留在这个题目怎样解。优化学生思维的发散性，就例习题教学而言，教师至少要做到两点：一是重视解题后的反思环节。反思如何探索出解题途径，解法中运用了哪些基本方法，反思结果与题设是否相吻合，反思解答是否完备而无遗漏，反思易错之处等等。二是解题后的总结归纳。包括一题多解的方法选择，一法多题的题型归类，同一问题多法的归纳，等等。通过总结归纳，反思感悟，促成迁移，真正达到解一题、会一类、通一片的目的。

三、充分发挥测试卷的功效，确保训练落实到位

现在高三数学复习，学生手里有很多复习资料，各地的测试卷蜂拥而至，许多学生陷在题海之中，似乎觉得自己少做了一套题，心理就不踏实。诚然，学好数学必须做题，各种类型题目的训练是必要的。问题是：现在学生做题，知识列了一大堆，叙述似是而非，自以为对，实际上混乱不堪，这恰是题海战术的恶果。因此，必须优化测试，充分发挥测试卷的功效，确保训练落实到位。

1、认真编选试题，突出实效性

要想充分发挥测试卷之功效，首要的是编选好试题。编选试题要注意以下几点：

（1）认真反思，克服选题的盲目性

在编选试题时，要对近一阶段的复习进行回顾与反思。反思要从教与学两个方面入手：对于“教”而言，要冷静、客观、全面地分析知识到位了没有，教学中是否出现了遗漏与差错，考查内容和题型的匹配是否与《考试说明》和高考题相吻合，等等。对于“学”而言，要了解学生对重点内容理解到什么层次，难点消化到何种程度，思维训练收效如何，还存在哪些困惑与主要问题，等等。只有吃准了教与学两个方面，选题才有会针对性，才能收到实效。

（2）把握基础，注重考查数学思想方法

注重对数学思想方法的考查是高考数学命题的显著特点之一。数学思想方法是数学的精髓，对于数学思想方法的考查，必然要与数学知识考查结合进行。只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力。因此，选题要着眼于基本概念，基础知识和基本方法，围绕“三基”进行策划；要控制运算量，尽量避免繁杂的计算，让学生把主要精力放在理解、思考、分析和解决问题上；要注意通性通法，淡化技巧，选取能更好地进行数学思想方法训练的题，真正有效地发挥测试卷的功能。

（3）选题适度，注重激发学生的兴趣

一般说来，如果选取的题目背景过深、信息量过大、涉及知识点过多，学生的思维很可能跟不上来。这样的试题在试卷中如果所占的比例较重的话，就会影响学生思考的积极性，甚至使学生丧失信心。因此，要根据学生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法所掌握的程度确定试题的难易程度。对于综合性较强的题目，一般应采用“分步设问”的方式给出，分散难点，使学生易入门、易成功，有利于激发学生应试的兴趣，达到检测的目的。

2、重视试卷评讲，及时反馈矫正

测试后的评讲是教学工作的组成部分，是再学习的过程，必须重视测试后的评讲。试卷评讲要遵循以下三个原则：

（1）激励性原则

一位德国教育家说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”所以测试后的评讲要注意激励学生。对于差生而言，要从解题思路、运算过程、运算结果和书写规范上细心找出他们的“闪光点”，给予充分的肯定，尽量淡化学生因出错而产生的自卑感，从而加强学生的内驱力，增强他们学习的上进心。对于优秀学生要保护他们的独特见解和优良解法，这样才使学生的思维活动不限制在教师设定的框框内，有利于优秀学生的再发展。总之，通过评讲，要充分调动各类学生的情感、意志、兴趣等多方面的积极因素，促进智力因素与非智力因素的协调发展，以实现大面积提高教学质量的目的。

（2）重点性原则

讲评要针对答卷所反映的问题和学生实际，突出重点，切忌面面俱到。由于考查的知识点和数学思想方法分散在各题中，如果逐题依次评讲，学生不欢迎，也没有太多的时间，效果也不佳。因此教师导评应有所侧重：一是重共性问题，即多数学生不能解决的问题；二是重典型问题，即带有倾向性，且通过评讲对多数学生后续学习有较大启示作用的问题；三是重一题多解，即反思解题方法的优劣，寻求最优解法；四是重指导学生矫正错误。对错误的矫正，不能只给学生提供正确的答案，而应帮助学生找出错误的根源，教给学生纠错的方法，使学生在纠错的过程中，吸取经验教训，获得正确的思维方法，使学生在错误与挫折中变得聪明。

（3）启发性原则

评讲课要想充分发挥“矫正功能”和“发展功能”，必须要让学生参与评讲，要求学生养成认真思考的习惯。讲评时，教师应根据学生在答题中的实际情况，精心设疑、巧妙提问、恰当引导、耐心启发，让学生通过独立认真的思考获取知识和方法。特别是在学生思维迷茫之时、思路中断之际、方法纷乱之中，教师要不失时机地铺路搭桥，帮助学生排除思维障碍，逐步开辟思路，掌握新方法、不断提高学生思维水平。同时，启发要适时、适度，要从多层次，多角度进行。对一道题，教师要善于层层启发，使问题不断得到分解和转化，或启发学生从不同的角度观察、联想、思考、探索解决问题的途径，使学生参与解决问题的全过程，成为问题的探讨者。

要想遵循以上三个原则，教师在评讲时，要把握好以下几个策略：

（1）考情分析：考情分析应包括：①全班总分数段情况，即高分层、中间层、低分层的人数和所占的比例，明确重点生的有关情况；②统计各题的得分情况，根据学生实际确定重点评讲题目；③对于综合测试，还应按知识块（三角函数、函数与导数、概率与统计、数列、不等式、解析几何、立体几何、其他）分析统计，找出薄弱处，便于查漏补缺。

（2）试题分析：即按照知识块，或数学思想方法划分，将相近或有联系的题放在一起进行评讲，对重点题进行重点评讲。

（3）错误分析：即对学生测试中出现错误进行分析。按试卷考查的知识点和数学思想方法，根据学生的“常见病”和“多发病”，按知识型错误、方法型错误、思维方向型错误、运算错误、应试策略不当等归类分析。

（4）同类比较：即将学生近期做过的同类试题与本题对照分析，引起学生联想、感悟，让学生在经验与反思中成长。

（5）问题深化：即以此题为载体，进行条件或结论的变化、表达方式的变化（不一定题题这样作，要因题而定），使学生在试题变化中，在矛盾冲突中来调整自己的思路，达到举一反三，触类旁通的效果。

优化高中数学总复习，对教师提出了挑战：即教师备课在量上、在质上都有很高的要求。若能充分发挥备课组的作用，同组的教师分工合作、资源共享，加之每个教师个体的认真备课，相信会取得好的效果。