摘要：应用功率键合图方法，建立了一种多分支血液循环系统的计算机仿真模型，即描述血液循环系统内血流动力学变量变化规律的状态方程。该仿真模型较为细致地刻画了血液循环系统的生理特性，形成了较完整的人体血液循环系统的计算机模型，此模型可模拟血液循环系统的生理和病理特性，得出相应的心血管动力学仿真数据和波形，为进行血液循环系统生理和病理的医学研究提供了新的研究手段。

关键词：血液循环系统　计算机仿真　功率键合图法

0  引　言

　　功率键合图法是一种系统动力学建模方法，它以图形方法来表示、描述系统动态结构，是对流体系统进行动态数字仿真时有效的建模工具。通过已有的研究工作表明，功率键合图方法可以较好地应用于生物流体系统仿真，特别是人体循环系统的建模和数字仿真^[10]。

          我们在以前的工作当中，建立了一个简化的血液循环系统模型^[10]，验证了功率键合图法的可行性和有效性。键合图建模方法的优点是直观形象，便于获得状态空间方程，有利于数值化计算，避免了电模拟方法中推导状态方程困难的弱点 。本文对血液循环系统进行了较细致和全面的划分，建立了一个包括动脉系统、静脉系统、心脏（左、右心室和心房）以及冠脉循环、外周循环的多分支血液循环系统仿真模型。

　　应用功率键合图方法对血液循环系统进行建模和仿真的基本规则是，(1)把血液循环系统的结构及各主要动态影响因素以图示模型形式，即功率键合图加以表示，(2)从功率键合图出发，建立系统的动态数学模型——状态空间方程，(3)在数字计算机上对状态方程进行求解。

1  多分支血液循环系统模型的建立

1.1 系统描述

　　血液循环系统模型如图１所示^[4]。在心血管循环系统中，血液在心脏“泵”的作用下所进行的循环流动，可以看作是一种功率流的流动、传输、分配和转换的过程。血液在左右心室有节律地收缩作用下，被泵向人体的各个部分，其中包括：体循环区（血液由左心室经主动脉、大动脉、外周循环区和腔静脉，回到右心房），肺循环区（血液由右心室流经肺动脉和肺静脉到左心房。），腹部内循环，颈部和头部循环，以及冠脉循环等。在心房和心室、心室和主动脉之间存在着防止血液倒流的膜瓣，如二尖瓣、三尖瓣、主动脉瓣等。

 图1　血液循环系统模型

1.2  功率键合图模型

　　应用功率键合图建模方法的第一步是将原系统表达为功率键合图的图示模型。功率键合图由功率键、结点和作用元等主要元素构成，多分支血液循环系统的功率键合图如图2所示。

 r_nv     c_hv     r_hh     c_ha      r_na

图２　多分支血液循环系统功率键合图模型(此图有省略) 　

    参考图2，绘制多分支血液循环系统功率键合图的步骤可简述如下：

    (1)根据对多分支循环系统各个功率流程分支的分析，依次确定各0结点和1结点。

    ０结点表示集总的流容容腔，如心室腔、主动脉弹性腔，在0结点处血液压力为等值，而该结点输入的血流量等于输出的血流量。１结点表示集总的流阻管路或流感管路，如大动脉血管，在1结点处血流量为等值，而该结点的压力降等于上流压力值减去下流压力值。在图2 的循环系统模型中共有15个0结点和21个1结点。

    (2)画上各结点周围的功率键，并标注功率流向。

    功率键是带有箭头和因果线表示功率的线段。本模型中构成功率的两个变量是血压和血流。箭头表示系统作用元中的功率流向，即循环血液的流动方向。

    (3)在功率键的一端标注上相应的c、r、l作用元。

　　为了能够全面、细致地刻画系统特性，本模型中应用了三种作用元：流容、流阻和流感。

    流容反映血管的顺应性，画在０结点上，用c来表示，简称c元。例如，图2 中的c_ta、c_ar、c_vn、c_pa、c_pv是分别表示与图1相对应部分的胸主动脉、大动脉、腔静脉、肺动脉和肺静脉顺应性的流容。

    流感反映血流的惯性特性，画在1结点上，用l来表示，简称l元。如图2中的l_ta、l_ar、l_vn、l_pa、l_pv、l_co是分别表示相对应的胸主动脉、大动脉、腔静脉、肺动脉、肺静脉及冠状动脉血流惯性的流感。

    流阻反映血流粘滞阻力的特性，简称r元，画在１结点上。例如图2中r_ta、r_ar、r_vn、r_pa、r_pv和r_co是分别表示胸主动脉、大动脉、腔静脉、肺动脉、肺静脉及冠状动脉血流粘滞阻力的阻性作用元。

    (4)在各功率键上标注因果线，以便于建立系统的数学模型。

    功率键上的因果线表示各作用元上流量与压力两变量之间的因果关系，确定了自变量和因变量，便于建立系统的状态方程。对于c元，其功率键上两个变量间，自变量是流量，因变量是压力；对于l元和r元，其功率键上两个变量间压力是自变量，流量是因变量。

    经过以上步骤，就完成了循环系统的功率键合图模型。可以看出，键合图模型就是通过结点、功率键和作用元这些元素对心血管循环系统直观而形象的描述和反映。在将循环系统翻译成键合图模型后，就可以方便、有条不紊地推导系统数学模型。

2  系统数学模型

    功率键合图建模方法的第二步是推导系统的数学模型。在推导系统动态过程的数学模型——状态方程时，首先要确定状态变量。应用键合图方法建模的方便之处就在于对状态变量的确定有一定之规，可遵循固定的法则。

    由于系统的状态方程是一阶微分方程组，在其变量间有导数关系，而在键合图中，只有流容c和流感l作用元中的两个变量间才有导数或积分关系，所以应当从c元和l元各自的变量间取一个变量作为状态变量。

    对于c元，自变量为流量，因变量为压力，其关系为：

　　         　　　　　　(1)

    对于l元，自变量为压力，因变量为流量，其关系为：

                                               (2)

    对于r元，流量和压力之间的关系有：

                                                     (3)

    根据规则，取c元功率键上的压力变量p和l元功率键上的流量变量q为状态变量,状态变量的一阶导数即为状态方程。

    因此，对于0结点，由(1)式两边取导数可得：

                             (4)

其中， 是第i个0结点处的压力， 为输入血流量， 为输出血流量， 是第i个0结点处的流容。

    对于1结点，由(2)式和(3)式可得：

                         (5)

其中， 是第i个１结点处的血流量， 为上流压力， 为下流压力， 和 分别是第i个１结点处的流阻和流感。

　　对每个0节点和1结点都建立类似(4)和(5)的关系式，则可以得到系统的数学模型。本模型的数学模型是36阶的状态空间方程，即模型由36个一阶微分方程组成。下面列出了主动脉循环部分的状态方程：

                                      (6)

                                               (7)

                                                          (8)

                                  (9)

                                (10)

    (11)

    其中，c_ta、c_aa、c_ar分别是胸主动脉、腹主动脉、外周动脉的流容；l_ta、l_aa、l_ar、l_vn分别是胸主动脉、腹主动脉、外周动脉和腔静脉的流感；r_ta、r_aa、r_sa、r_pc和r_sv是分别表示胸主动脉、腹主动脉、外周动脉、外周循环和腔静脉的流阻。p_tao、p_aao、p_sar和q_tao、q_aao、q_sar分别是动脉循环中的胸主动脉、腹主动脉、外周动脉部分的压力和流量。

　　血液循环是由心脏的舒张－收缩动作推动的，本文采用了心室时变流容 来表示这种舒张－收缩动作， 是时间的周期函数。

    对于循环系统中的膜瓣作用，可以作为模型的约束条件加入到系统数学模型当中：当血液正向流动时，膜瓣阻力为一较小的数值；当血液反向流动时，膜瓣阻力为无穷大，即阻止血液倒流。

　　本模型中的流容、流阻和流感参数参照文献[4]。

3  计算机仿真

　　本文采用４阶定步长runge－kutta法来求解模型的状态方程，设定仿真步长为0.0001s，在奔腾586 pc机上进行数字仿真。

    当加入边界约束条件，设置各状态变量初始参数之后，状态变量便以状态方程为基础被同步地展开。在每一步，血液循环系统各部分的压力和流量值根据状态方程被分别计算出来。待仿真数据变化稳定后，由系统输出方程可以得到每个心动周期内系统各部分的血压p、血流量q、血液容量v以及心输出量co和射血分数ef等各项生理参数数值，从而可以对多项生理特性进行计算机仿真。本文进行了正常生理条件下和高血压、血管刚性的病理条件下的生理特性仿真。

3.1 正常生理状态仿真

  　设定各状态变量的初始参数为正常值^[4,5]，对系统模型进行计算，即可得到正常生理条件下，血液循环系统血流动力学参数的仿真数据。

    图３给出了在正常状态时，三个心动周期（每个心动周期为0.8秒）内的左心室压力和主动脉血的仿真波形压的仿真波形。从压力仿真波形图中可以看出，心室压力和主动脉压力在每个心动周期内的压力脉动是十分显著的。图４是肺动脉血压和肺静脉血压的仿真波形。肺动脉压的压力脉动也较为显著，而在肺静脉中，血液的压力脉动就不很明显。

 
图3 左心室和主动脉的压力变化仿真

140                               
01.6
t/s
(a)左心室血液容量的周期变化 

140                               
01.6
t/s
 (b)右心室血液容量的周期变化  

图4 肺动脉和肺静脉的压力变化仿真

    在表1中给出了血液循环系统主要血流动力学变量在正常状态时条件下的仿真数值。由生理学规律可知 ，左心室收缩压范围一般在17~18 kpa，主动脉压力范围在12~17 kpa，肺动脉压在2 kpa左右。因此，仿真所得波形和数据与实际的生理规律是相符的。

    表1中还给出了评定心脏功能的两个有用的指标：心输出量co和射血分数ef，仿真所得到的数据为：心输出量5256 ml/min，射血分数61%，都符合实际的生理规律 。

                            表1 血液循环系统主要血流动力学变量计算机仿真数值             

3.2 高血压仿真

    由于动脉管径窄缩，或是动脉壁增厚等原因常常会使动脉血管的阻力增大，使得心脏在收缩期向主动脉喷血时耗费更多的功，从而引起高血压症状。因此在本实验中，增大键合图模型中的主动脉和外周动脉的流阻r_ta、r_aa、r_ar的数值，可以实现高血压的仿真。

    表1中给出了高血压时各血流动力学变量的仿真数据。从仿真数据中可以看到，左心室压和主动脉压分别达到21.28 kpa和18.63 kpa，血压值明显升高，但是心输出量4989 ml/min和射血分数54%的数值却比正常状态显著降低，这表明高血压时心脏的功能在减弱。

3.3 血管刚性仿真 

    血管顺应性的倒数1/c被称为血管刚性，血管刚性越大，血管顺应性则降低，使心室射血阻抗增大，导致心室喷射压力和动脉血压升高，心输出量和射血分数降低。在本实验中，将主动脉与外周血管的流容c_ta、c_aa、c_ar分别降低至正常值的50%，可以模拟血管顺应性降低时的生理特性。

    表1给出了各项血流动力学变量的计算机仿真数值。从仿真数据中可以看到，左心室压19.29 kpa和主动脉压17.10 kpa偏高，而心输出量5010 ml/min和射血分数58%的数值比正常数值降低，符合实际的生理规律。

4  讨  论

　　本文提出了一个多分支血液循环系统功率键合图模型，叙述了以键合图建模方法、状态空间分析和计算机仿真为基础的心血管动力学分析方法，并用该模型进行了基本的生理仿真实验。

    将功率键合图建模方法应用于人体循环系统的仿真研究，能够较好地处理循环系统仿真中的建模问题，特别是从功率键合图可以很方便地推导出状态空间方程，从而正确的描述系统的动态特征。这一点特别有利于在医学研究人员中推广计算机仿真技术这种有用的研究手段。同时，这种仿真模型对循环系统特性的刻画也较为全面和细致，生理仿真的实验结果在波形和定量上与人体检测的结果是相吻合的。结合临床对各项生理特性进行计算机仿真，将为医学研究提供一种新的强有力的研究手段。

参　考　文　献

 [1] bai jing, ying k, jaron d.  cardiovascular responses to external counterpulsation: a computer simulation[j]. med&biol eng&comput, 1992,30: 317-323.

[2] harnkazu tsurnta, toshira sato, masuo shiratake  mathematical model of cardiovascular mechanics for diagnostic analgsis and treatment of heart failure: part 1 model description and theoretical analysis[j]. med&biol eng&comput, 1994,32: 3-11.

[3] engvall j,karission m, ask p. importance of collateral vessels in aortic coarctation : computer simulation at rest and exercise using transmission line elements[j] med&biol eng&comput, 1994,32: s115-s122.

[4] goldstein y, beyar r, sideman s. influnce of pleural pressure variation on cardiovascular system dynamics: a model study[j] med&biol eng&comput, 1988,26: 251-259.

[5] beyar r, kishon y, sideman s, dinnar u. computer studies of systemic and reginal blood flow mechanisms during cardiopulmonary resuscitation[j] med&biol eng&comput, 1984,22: 499-506.

[6] beyar r, sideman s, dinnar u. cardioac assist by intrathoracic and abdominal pressure variations: a mathematical study[j] med&biol eng&comput, 1984,22:507-515.

[7] 何瑞荣．心血管生理学[m]．北京：人民卫生出版社，1987. 10-76.

[8] 卡诺普d c，罗森堡r c. 系统动力学——应用键合图方法[m]．北京：机械工业出版社，1985. 127-158.

[9] 刘能宏，田树军．液压系统动态特性数字仿真[m]．大连：大连理工大学出版社，1993. 20-148.

[10] 冯宇军，田树军. 功率键合图法在血液循环系统计算机仿真中的应用[j]. 大连理工大学学报，1999, 39(3): 429-433.

study of modeling and simulation of the multi-branch blood system

abstract : by the power band graph (pbg) method, a computer simulation model of the multi-branch blood circulation system is presented, which describes the blood fluid dynamic law in the blood system by the state equation. a minute description is gived by the modelon physiological characters of blood circulation system (bcs). an integrated computer model on bcs has been established. the model can simulate physiological characters of blood circulation system, and get the simulation data and curves of bcs hemodynamics varibles.  the model can be used widely in the field of physiological system simulation study, the medical study and medical aid education.

key words : blood circulation system ,  computer simulation  , power band graph method