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高中数学B版教材中应用问题初探           ★★★ 【字体:
高中数学B版教材中应用问题初探
作者:佚名    文章来源:本站原创    点击数:    更新时间:2008-12-1    

    一、数学及其应用

  数学是研究空间形式和数量关系的科学,是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。当代数学能够处理科学中的数据和观测资料,进行推理、演绎、证明,可提供自然现象、社会系统的数学模型。

  数学的特点:高度抽象性、逻辑严密性、应用的广泛性。

    随着社会的发展,数学的特点之一,应用的广泛性得到越来越多人的认同。数学是人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学的基础;它在培养思维品质,提高思维水平方面发挥着特有的作用;它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。

  二、有关数学课程改革中的“应用”

    近年来,数学教育界内的“问题解决”、“数学建模”、“研究性学习”等无一例外地把应用提高到一个非常高的程度,因此,正确理解“应用”就成为一个非常重要的问题。

    对于使数学课程“贴近”生活实际,历史上已作了许多讨论。因而出现了“问题解决”、“大众数学”、“数学建模”、“应用问题”等名词。事实上,理论与实践相结合是数学课程中教材改革的重要目标之一。在两千多年前,数学教育就存在着“着眼于实用”和“训练思维”的两大目标。今天数学的内容大大地丰富和深化,实际应用和训练思维的涵义也大大拓展了。归根结底,数学教育的目的除思想教育目标之外,仍然是这两个目标的结合。其实,数学就自身发展来说,始终是理论与实践相结合的一门科学。

    中国古代数学一向有实用的的传统。数学教学中重视数学应用也并非新问题。在小学里,数学应用题是教学的重点和难点,从未有人持异议。到了初中,学了平面几何,数学品味趋于抽象,逻辑推理不断加强,数学应用渐有淡出之势。但数学应用的典型问题仍旧保留着,诸如浓度问题、行程问题等。一到高中,情况变得严重,似乎数学离现实越远越好,纯数学推理,成为唯一的选择。那么,高中数学该教怎样的应用题?数学教学和高考数学命题实践已向我们提出更高的要求。

    一位著名的数学教育家认为:“数学教学应讲授从丰富的现实情境中抽象出这些结构的数学发现过程。学习是指形成这种系统化的数学活动过程,而不是系统化的最后结果。” 我们可以这样理解:学生所要学习的是一项作为人类活动的数学,即从现实生活出发的数学化过程。如果需要,也可以包括从数学本身出发的数学化过程。

  “问题解决”恰恰反映了现实生活出发的数学化过程问题,“问题”即从现实情景出发,这里所说的现实情景,既包括客观的世界和现实的生活,又包括学生的数学现实。事实上,这是应用的一个非常重要的方面。“解决”是指将数学知识应用到现实情景中去。我们所说的应用,即从现实情景引入数学,最后又为生活服务。让学生充分感受到数学就在我们身边。

  我们现在所用的教科书能够面向现实,应用问题的材料内容广泛,形式各异,图文并茂,有生动具体的现实问题,有让人着迷的数学史,还有现代数学及其应用的最新发现和发展等。教科书中每节后,还安排大量与现实世界结合并带有探索与研究价值的问题,供学生讨论、思考和实践,涉及到的领域很多。例如天文、经济、物理、化学等,让学生充分感受数学与其他学科之间的联系。

  总之,数学教育改革中对于“让学生认识有关知识的来龙去脉,强化过程教学”已达成共识。

  《普通高中数学课程标准》进一步突出了理论联系实际,加强数学应用。“发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断”是高中数学的课程目标之一。

  应用意识是指:会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题;会使用数学语言表达问题、进行交流,形成用数学的意识。

  数学创新意识主要是指:对自然界和社会中的数学现象具有好奇心,不断追求新知,独立思考,会从数学的角度发现和提出问题,加以探索和研究。

    《课标》在第四部分实施建议“教学建议”处,对应用数学知识解决实际问题做了说明。标题为:注重数学知识与实际的联系,发展学生的应用意识和能力。《课标》中强调“通过丰富的实例引入数学知识,引导学生应用数学知识解决实际问题,经历探索、解决问题的过程,体会数学的应用价值。

    我们还应该认识到,数学应用不仅包括人们常讲的用数学的结论,用数学的方法,用数学的思想,还包括用数学的语言,用数学的观念,用数学的精神。因此,强调数学课程教材中的应用,并不是仅仅通过“增加一些有用的数学内容”,,“在例题和习题中增加一些应用题”,而是要在教材设计、编排体系等方面做更深层次的思考。

  三、高中数学教科书中的“应用”

  下面以《人民教育出版社B版教材数学必修1第二章函数为例》,对“应用”进行具体的分析:

    1.教学内容的选取
    (1)知识点:函数的概念、表示方法、分段函数、函数的应用(Ⅰ)。

    (2)教学目标:
    通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;
    通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。
    理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;

    收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例,了解函数模型的广泛应用。

    实习作业:

    根据某个主题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物的有关资料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进行交流。

    说明与建议中要求:

    在函数应用的教学中,教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

   2.教学内容的处理

    (1)2.1.1正文第32页:“函数概念的引入”

    学生好奇心指标随年龄增长的变化规律图表;农业科学家研究玉米的生长过程,实验得到的各时间段与植株高度的相关数据图表。

    (2)2.1.2正文第41页:“函数的表示方法”

    列表法:新中国成立后五次人口普查,各次普查得到的人口数据表。

    以上带有实际意义的生活中的数学问题让学生感到数学就在我们身边,并会使用数学语言表达问题、进行交流,形成用数学的意识。

    (3)2.1.2正文第46页:“分段函数”

  例5在国内投寄外埠平信,每封信不超过20g付邮资80分,超过20g而不超过40g付邮资160分,依此类推,试建立平信应付邮资(单位:分)的函数关系,并画出图象。

  这是学生在现实生活中会遇到的问题,也即现实情境(问题情境),建立函数关系式(数学模型):

  当邮寄35g的外埠平信时,从图象中可以看出,应付160分的邮资(应用到现实情境中去)。

  这是一个比较简单的“数学建模”过程:问题情境→建立模型→解释与应用。可以说,在一定程度上,“数学建模”使应用更现实化。学生看到数学如何才能应用到真正的“现实生活”问题中,并且渴望获得进一步学习的动力,会自然地寻找“数学建模”的机会。

  在解决实际问题中,“会使用数学语言表达问题、进行交流,形成用数学的意识”是应用的一个重要的方面。从以上例子中可以看出,在建立数学模型的过程中,自然经历自然语言、数学语言(函数关系式)、图形语言(函数图象)相互转化的过程。

  (4)2.3正文第69页:“函数的应用”

  例1  某列火车从北京西站开往石家庄,全程277km。火车出发10min开出13 km后,以120km/h匀速行驶。试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系,并求火车离开北京2h内行驶的路程.

  例2 某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满。公司欲提高档次,并提高租金。如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间。若不考虑其他因素,旅店将房租提高到多少时,每天客房总的租金总收入最高?

  例3 某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材料可筑墙的总长度为l,如果要使围墙围出的场地的面积最大,问矩形的长、宽各等于多少?

例4 建立函数模型的例子

问题  我国1999年至2002年国内生产总值如表(略)所示:
 
①画出函数图形,猜想它们之间的函数关系,近似的写出一个函数关系式;
②利用得出的函数关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较;
③利用关系式预测2003年我国的国内生产总值。

解题后,有这样一段说明:根据国家统计局公布的数据,我国2003年国内生产总值为11.6694万亿元,比预测的数字高的多。这说明为解决实际问题所建立的数学模型是否符合实际情况,还要经过实践的验证,如果与实际误差较大,就要修正得到的数学模型

 

  该说明结合典型事例,详细地介绍了数学模型的建立过程,以及利用数学模型方法解决问题需要注意的问题,体现了数学学科研究问题的严谨性。

  四、教材选择与教师教学中应注意的几个问题

  (一)选择与教授“应用问题”应考虑的几个方面

  1.数学学科本身的应用

  由于数学学科本身具有逻辑严密的特点,前面知识的学习为学习后面的知识做准备。即前面的知识要应用迁移到后面知识的学习中。

  2.在其他相关学科的应用,特别是物理及工程技术中的应用。

  3.与现实情境相结合

  由于高中学生学习的知识毕竟还是有限的,他们用数学知识解决的现实问题,与应用数学家所面临的现实问题相比,充其量是个经过人为加工的“数学半成品”,所以要选择与学生生活贴近的例子。

  4.发现问题、提出问题、分析问题、解决问题这四者之间,能够发现问题、提出问题,这是要求最高的。能够解决已经“数学化”了的问题,对学生来讲,是个技能化的过程。而能够发现问题、提出问题、分析问题则是一个能力问题,因而老师在教学时对不同层次的学生的要求应有所不同。

  5.数学语言的灵活运用在“应用”中是非常重要的,特别是自然语言、数学语言、图形语言的相互转化,以及灵活用数学语言进行表达,教学中要加强这方面习题的选择与各种语言相互转换的训练。

  (二)应用题与计算机

  计算机(器)的普及,为数学的应用搭建了良好的平台。不仅提供了先进的计算工具,更便于处理实际数据,使应用问题更加真实,切合实际;而且良好的演示平台,使数学应用有了广阔的空间,计算机能够把静态的变成动态的,把抽象的东西具体化,直观化,使人们的思维能够得到一定程度的延伸,所以在课堂教学中要加强二者的整合。

  “应用”是一个非常大的话题,不但是课程教材改革的问题,而且还涉及教学、学习、评价(考试)等等。笔者认为,“应用”最主要的是教师的教学思想,即在教学中培养学生的应用意识,课程教材和评价(考试)只是培养学生应用意识过程的一个必不可少的环节,更重要的是要在平时的教学中去实现。

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